Variable Kraft
 
           Die Dehnung oder die Stauchung einer Schraubenfeder kann durch den Einsatz einer Kraft erzielt
           werden. In gewissen Grenzen steigt die erforderliche Kraft dabei proportional mit der Verformung S.
           In so einem Fall spricht man von einem linearen Kraftgesetz (s. Bilder unten).
           Die mathematische Beziehung lautet: F = k S,  wobei k die Federkonstante darstellt.
           Die mechanische Arbeit, die für eine Änderung L der Federlänge erforderlich ist, wird von der Feder
           als potentielle Energie gespeichert. Diese Energie hat den Wert:
                   L                                L
           E = ∫  k S dS = (k / 2) │S² │   =  k L² / 2
                   0                                 0
           Aus diesem Ergebnis ist ersichtlich, dass die Energie parabolisch mit der Änderung L ansteigt.
           Bei der Entspannung der Feder wird die gespeicherte Energie wieder freigesetzt.
          
           Ein anderer Fall von variabler Kraft stellt die Ausbreitung der Gase in den Zylindern eines Verbren-
           nungsmotors dar. Die Kraft verläuft hier umgekehrt proportional mit der zurückgelegten Strecke S
           des Kolbens, und ihr Ausdruck ist: F = const / (const / F0 + S),  wobei F0 = Anfangswert
           Die Energie entlang der gesamten Hublänge L kann durch Integration ermittelt werden:
                   L
           E = ∫  F dS = const ln (1 + F0 L / const)
                   0
           Also wird hier der Energieverlauf  durch eine logarithmische Funktion dargestellt.
           Es gibt auch Fälle, bei denen die Energie durch numerische Integration berechnet werden muss.
          
 
           Variable Force
 
           The compression or the extension of a helical spring can be achieved by the application of a force.
           Within certain limits the necessary force is thereby growing proportionally with the deformation S.
           In such a case we speak about a linear law of force (see the pictures below).
           The mathematic relation has the form: F = k S,  where k represents the constant of the spring.
           The mechanical work, which is necessary for the modification L of the spring lenght, is stored by
           the spring as potential energy. This energy has the value:
                    L                                 L
           E = ∫  k S dS = (k / 2) │S² │   =  k L² / 2
                   0                                 0
           This result shows clearly that the energy is growing parabolically with the variation L.
           At the relaxation of the spring the stored energy is set free again.
  
           Another case of variable force represents the extension of gases in the cylinders of an internal com-
           bustion engine. Here the force stands in inverse proportionality with the covered distance S by the
           piston, and its expression is: F = const / (const / F0 + S),  where F0 is its initial value.
           The energy along the whole stoke length L can be calculated with the integral:
                    L
           E = ∫  F dS = const ln (1 + F0 L / const)
                   0
           Thus the course of energy is represented here by a logathmic function.
           There are other cases too, in which the energy must be computed by numeric integration.